Abstract
Nel nostro precedente articolo sulle compensazioni di portata (vedi nei riferimenti il punto 1), oltre ad un’introduzione generale sul miglioramento delle misure di portata ottenibili dal sistema di automazione, abbiamo anche citato qualche esempio di calcolo applicabile ai gas ideali.
In questo articolo riprendiamo l’argomento, analizzando in dettaglio due tecniche, la prima alle misure di portata di acqua, e la seconda ad un vasto numero di soluzioni acquose.
In entrambi in casi consideriamo la fase liquida assumendola come incomprimibile, e valuteremo le variazioni di densità con la temperatura, e, nel caso delle soluzioni, con la concentrazione.
Per la predizione della densità abbiamo utilizzato dei modelli reperibili in letteratura, modificandoli dove necessario per bilanciare l’accuratezza ottimale, con una complessità di calcolo non eccessiva. Gli algoritmi scelti devono poter essere sviluppati con la maggior parte dei sistemi di controllo, sia PLC che DCS.
- Misure di portata massiche e volumetriche
Gli strumenti di misura di portata possono essere classificati in volumetrici o massici, a seconda che il principio tecnologico sfruttato per la misurazione produca un valore proporzionale al flusso in volume o in massa.
La maggioranza dei tipi di misuratori di portata sono volumetrici. La stragrande maggioranza se consideriamo anche l’installato effettivo.
I misuratori massici possono essere Coriolis o termici.
I Coriolis hanno caratteristiche eccezionali sia per accuratezza che per campo di applicazione, ed oltre alla misura di portata possono simultaneamente fornire, per chi la vuole acquisire, la misura di densità del fluido. Hanno però come svantaggio un costo relativamente elevato.
I termici non hanno invece grandissima diffusione, perché adatti solo a limitate condizioni operative.
Tutte le altre tecnologie più utilizzate rientrano nella categoria dei misuratori volumetrici: basati su pressione differenziale, elettromagnetici, ultrasuoni, vortex, etc.
Tra gli obiettivi della misurazione tendono invece a prevalere le letture in massa, almeno nelle intenzioni (vedi ancora nei riferimenti il punto 1).
Nella pratica è quindi frequentissimo “accontentarsi” di una misura volumetrica da usare come massica. Eventualmente visualizzata come massica, come unità ingegneristica, ma con l’assunzione di condizioni operative coincidenti con quelle di progetto, il che non sempre risulta realistico.
In alternativa possiamo sviluppare un algoritmo di calcolo che possa tenere conto delle deviazioni dalle condizioni di progetto, per convertire le nostre misure volumetriche in massiche con una accuratezza superiore alla semplice proporzione lineare.
- Conversione di portate volumetriche a portate massiche
In generale possiamo convertire una portata volumetrica alla corrispondente portata in massa attraverso la seguente equazione:
W = rho@op x Q (1)
Dove:
W = portata massica (kg/h)
rho@op = densità alle condizioni operative (kg/m3)
Q = portata volumetrica (m3/h)
Le unità ingegneristiche possono anche cambiare, ma attenzione a mantenere l’omogeneità dimensionale.
L’ equazione appare semplice, ma in verità il calcolo della densità di un fluido potrebbe risultare molto complesso e richiedere diverse informazioni aggiuntive. Tipicamente temperatura, pressione, e composizione.
Ogni contesto richiede valutazioni specifiche su quali grandezze operative considerare come disturbi della nostra misura di portata, e quali possiamo trascurare. Ed anche valutare attentamente quale sia l’ampiezza delle oscillazioni che possiamo effettivamente valutare nel nostro calcolo senza una sostanziale perdita di accuratezza.
In questo articolo presenteremo alcune possibilità applicabili all’ acqua, ed un modello applicabile attraverso parametro a numerosissime soluzioni acquose, assumendo i fluidi come incomprimibili.
Valuteremo quindi le variazioni di densità dell’acqua con la temperatura, considerando dove serve anche la pressione di esercizio, ma trascurando le sue variazioni relative.
Per le soluzioni considereremo invece la temperatura e la concentrazione.
Gli algoritmi proposti sono potenzialmente utilizzabili per tutte le tipologie di misuratori di portata volumetrici.
Ma ne raccomandiamo particolarmente l’uso con i misuratori elettromagnetici, che hanno alcuni vantaggi caratteristici, quali facilità di installazione, accuratezza, basso costo. Questi hanno il limite di poter misurare solo la velocità di fluidi polari, quali l’acqua e le soluzioni che consideriamo in questo articolo.
- Un modello di predizione della densità dell’acqua
L’acqua è uno dei fluidi più comunemente utilizzato ed esistono innumerevoli modelli in letteratura per la stima della densità.
Se consideriamo acqua satura d’aria, in condizioni atmosferiche, ed in un campo di temperatura limitato da 5°C a 40°C, possiamo utilizzare l’equazione proposta da ITS-90 (vedi riferimenti No. 2):
ρas@op=999.84847+6.337563×10−2t@op −8.523829×10−3t@op 2
+6.943248×10−5t@op 3 −3.821216×10−7t@op 4 (3)
Dove:
ρas@op = densità acqua satura d’ aria, alle condizioni operative (kg/m3)
t@op = temperatura alle condizioni operative in C°.
Per acqua satura d’ aria si intende acqua in contatto ed equilibrio con l’aria atmosferica circostante.
ITS-90 è un riferimento di calibrazione definite dall’ International Committee of Weights and Measures (CIPM), per le misurazioni di temperatura in Kelvin e Celsius.
Questo tipo di formulazione è direttamente utilizzabile solo in sistemi di automazione molto recenti e potenti.
Ma è possibile semplificarla parecchio con qualche manipolazione tramite foglio di calcolo. Si possono tabulare i dati, possibilmente limitandoli al campo operativo di interesse specifico, e quindi utilizzare le funzioni che molti fogli di calcolo includono per generare interpolazioni (come, ad esempio, MS Excel Trendline). Sulle equazioni così ottenibili è anche possibile definire a piacimento il numero di decimali significativi di ogni coefficiente, per allinearlo con quelli ammissibili dal sistema di controllo che abbiamo a disposizione. Ogni semplificazione ridurrà certamente l’accuratezza del calcolo, ma l’errore dovrebbe comunque risultare inferiore a quello dello strumento di misura, e portare quindi un beneficio alla misurazione complessiva.
Con questo metodo abbiamo ottenuto la seguente equazione, molto più semplice da utilizzare anche in un PLC a basso costo.
ρas@op=-0.0085×t@op2+ 0.0634×t@op + 999.8485 (4)
Riassumiamo nella figura seguente lo schema dei passi richiesti per la semplificazione di un modello tramite interpolazione con fogli di calcolo. Nello schema “Fattibile” si riferisce alla compatibilità del modello semplificato con il sistema di automazione che intendiamo utilizzare, mentre “Soddisfacente” si riferisce all’ accuratezza dell’equazione risultante con le nostre necessità di misura.
- Altri metodi per predizione della densità dell’acqua
In letteratura esistono innumerevoli modelli o tabulazioni di dati sperimentali per la stima della densità dell’acqua, che è uno dei fluidi più utilizzati in assoluto.
Si possono differenziare dal modello proposto sopra per l’applicabilità a contesti diversi, come diverse condizioni di pressione, diversa composizione dell’acqua (ovvero assenza di aria, o presenza di additivi o contaminanti), diverso campo di temperatura.
Nei riferimenti potete ad esempio reperire al punto 5 un modello proposto da M. Tanaka, applicabile all’ acqua di mare (media oceanica SMOW).
In molti casi le equazioni di predizione della densità sono disponibili anche nel software di serie di alcuni misuratori di portata sofisticati. Tipicamente in quelli che vengono definiti “misuratori fiscali”, e che quindi si caratterizzano per la massima accuratezza possibile.
In alternativa a modelli basati su equazioni, sono anche reperibili numerose tabulazioni sperimentali o comunque basate su modelli complessi e rigorosi.
Una possibilità interessante è disponibile tramite il sito del NIST Chemistry WebBook, reperibile al momento gratuitamente tramite web.
Il National Institute of Standards and Technology (NIST, in origine National Bureau of Standards) è un’agenzia del governo degli Stati Uniti d’America che si occupa della gestione delle tecnologie. Fa parte del Dipartimento del Commercio e il suo compito è la promozione dell’economia americana attraverso la collaborazione con l’industria al fine di sviluppare standard, tecnologie e metodologie che favoriscano la produzione e il commercio.
Il NIST mette a disposizione tramite il Chemistry WebBook, Thermophysical Properties of Fluid Systems un gran numero di tabulazioni e modelli termodinamici per numerosissimi fluidi.
Potete accedere all’ indirizzo:
E quindi navigare attraverso la scelta del fluido, delle unità di misura prescelte, e della tipologia di informazione, fino ad ottenere una tabulazione dei dati di interesse.
A titolo di esercizio abbiamo tabulato la densità dell’acqua al variare della temperatura, in condizioni di pressione costanti di 10 MPa (98.7 atmosfere), tra 0 e 100 °C. Ed è persino possibile specificare l’intervallo di temperatura applicato per la tabulazione.
Si ottiene quindi una tabella dei dati richiesti, che si può facilmente trasferire su un foglio di calcolo per derivarne il modello semplificato con la tecnica prima descritta. I dati si possono anche scaricare direttamente dal sito.
Con queste basi possiamo ottenere un modello semplificato polinomiale del terzo grado, ed usando 5 decimali significativi, otteniamo:
ρas@op=999.84847+6.337563×10−2t@op − 8.523829×10−3t@op2
+6.943248×10−5t@op3 −3.821216×10−7t@op4 (5)
Dove:
ρas@op = densità acqua satura d’ aria, alle condizioni operative (kg/m3)
t@op = temperatura alle condizioni operative in C°.
Questo modello ha uno scostamento rispetto al modello originale entro lo 0.4% nel campo di validità di temperatura (0 – 100 °C).
L’ obiettivo di questo tipo di calcoli è normalmente l’applicazione ad uno schema di controllo funzionale al miglioramento della resa di processo in termini quantitativi, o talvolta qualitativi.
E solitamente per le regolazioni la ripetibilità della misura è un fattore fondamentale. Quindi se otteniamo una relazione che ci permette di adattarci in tempo reale alle variazioni di temperatura possiamo ottenere un beneficio anche se la nostra misura non ha comunque l’accuratezza di un modello rigoroso o un’analisi di laboratorio.
L’ analisi di laboratorio è solitamente più accurata, ma non è quasi mai applicabile ad un contesto di controllo in quanto avviene normalmente con bassa periodicità (giornalmente? settimanalmente?) e soprattutto il risultato è disponibile con un ritardo significativo rispetto al momento del campionamento.
È comunque possibile e frequente una strategia ibrida, dove un calcolo approssimato in tempo reale, che quindi influenza un algoritmo di controllo, viene periodicamente validato e corretto da misure di laboratorio.
Quindi la misura di laboratorio, oltre a fornirci una verifica di quanto il nostro modello matematico si discosta dalla realtà, ci permette anche di applicare delle correzioni periodiche per tenere conto anche di eventuali impurezze, o additivi, che possono sempre essere presenti ed influenzare il calcolo di densità.
La correzione potrebbe essere effettuata usando un fattore moltiplicativo, o un fattore aggiuntivo (bias). È impossibile su questo dare una regola generale, ed occorre valutare il contesto specifico.
- Predizione della densità di soluzioni acquose
Passiamo ora ad un caso di maggiore complessità. È frequentissimo l’uso industriale di soluzioni acquose per gli usi più diversi. Solo a titolo di esempio, soluzioni di soda caustica si possono ritrovare sia nel settore petrolifero, per la rimozione di composti di zolfo, sia nel settore farmaceutico, per la pulizia (CIP) dei serbatoi di processo. E ci sono innumerevoli altri usi nel settore cartario, chimico industriale, alimentare, etc.
Le stesse considerazioni valgono per tantissimi altri composti usati in soluzione, come acido solforico, acido nitrico, cloruro di sodio, etc.
Per la stima delle densità di parecchie soluzioni acquose abbiamo reperito in letteratura un modello particolarmente comodo, in quanto con la stessa equazione di base, possiamo usare le nostre predizioni per ben tantissimi composti differenti, con la sostituzione di pochi parametri specifici.
Vedi nei riferimenti l’articolo di Alexander Apelblat, che oltre a descrivere il modello include la lunga lista di parametri per ben 643 composti diversi.
Questi composti includono elettroliti inorganici forti e deboli, acidi organici e sali di acidi organici, diversi aminoacidi ed altre sostanze di interesse biologico ed industriale.
Il modello permette la stima della densità della soluzione in base alla temperatura ed alla frazione molare della sostanza dissolta.
Il modello si basa sulla combinazione del calcolo della densità dell’acqua pura, corretto con una funzione f(w) polinomiale di secondo grado della frazione molare della sostanza in soluzione:
f(xw)=A xw +B xw2 (6)
Dove:
xw = frazione massica della soluzione
A, B = coefficienti caratteristici della sostanza in soluzione
Per il calcolo di densità dell’acqua pura possiamo utilizzare questo modello, valido tra 5°C e 95°C e condizioni atmosferiche (Robinson – Stokes, vedi riferimento 6):
ρH2O@op = 999.9727 + 4.035198 10-2 t@op −7.090436 10−3 t@op2 +
+ 3.554779 10−5 t@op3 – 1.0027098 10−7 t@op4 (7)
Dove:
ρH2O@op = densità acqua pura, alle condizioni atmosferiche (kg/m3)
t@op = temperatura in °C
Il modello completo è il seguente:
ρsol@op = (ρH2O@op / 1000) / (1 – ρH2O@op / 1000 * f(xw) (8)
A titolo di esempio forniamo i valori dei coefficienti per alcuni liquidi comuni, ed un esempio di tabulazione nella figura sotto. L’ articolo in bibliografia (vedi il riferimento 3) include i valori dei coefficienti per centinaia di sostanze inorganiche e organiche:
A B
NaOH 1.03137 −0.6638
HNO3 0.57736 −0.2253
H2SO4 0.64333 −0.1411
Per l’applicazione al miglioramento della misura di portata valgono le considerazioni fatte sopra per la densità dell’acqua. Possiamo quindi ridurre la tabulazione ad un campo operativo di nostro interesse. Idealmente il più ridotto possibile, per massimizzare l’accuratezza.
Occorre poi considerare che la misura della temperatura è facilmente accessibile a basso costo e con un’ottima precisione. Ma non è solitamente possibile avere una misurazione in tempo reale della concentrazione, a meno di costosi analizzatori.
L’ applicazione di un modello basato su temperatura e concentrazione è praticamente limitato a due possibili contesti:
- In processi continui dove un solvente viene utilizzato in concentrazione fissa e nota. Utilizzeremo quindi il nostro algoritmo per la compensazione in temperatura. E questo il caso, come esempio, dell’addolcimento di idrocarburi. Con il miglioramento della lettura di portata sarà possibile ottimizzare la portata di lavaggio per ridurre consumi e scarichi di sostanze come la soda caustica.
- In processi batch dove vengono miscelati una porzione di solvente a concentrazione nota, ed una porzione di diluente (acqua). Con le due portate totalizzate è possibile ricavare la concentrazione della miscela risultante. E volendo da questa stimare ulteriori proprietà quali ad esempio la conduttività. Un possibile contesto è il CIP (Cleaning In Place nei processi farmaceutici).
- Conclusioni
In molti contesti è possibile misurare la portata massica a partire da misure di portata volumetrica, quando riusciamo a calcolare in tempo reale una stima affidabile della densità del fluido misurato, usando il nostro sistema di automazione.
Possiamo così valutare più accuratamente la misura che desideriamo ottenere, seppur utilizzando in campo sensori di campo volumetrici, mediamente molto più economici di quelli massici.
La selezione del modello di predizione della densità deve però essere scelto con accuratezza per verificare la congruenza con le condizioni di applicazione ed i limiti operativi applicabili.
- Riferimenti
- Carlo Lebrun, Benefici economici dalle compensazioni di misure di portata, Automazione e Strumentazione Novembre/Dicembre 2023.
- Frank E. Jones e Georgia L. Harris, ITS-90 Density of Water Formulation for Volumetric Standards Calibration, J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 97, 335, 1992)
- Alexander Apelblat, A new two-parameter equation for correlation and prediction of densities as a function of concentration and temperature in binary aqueous solutions, Journal of Molecular Liquids 219 (2016) 313–331.
- Systec Control – Deltaflow Calculations Basics
- Tanaka, M., et. al; Recommended table for the density of water between 0°C and 40°C based on recent experimental reports, Metrologia, 2001, 38, 301-309.
- R.A. Robinson, R.H. Stokes, Electrolyte Solutions, 2nd. Rev. ed. Butterworths,London, 1965.
